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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
Final B (2022)
Ejercicio 1:

Sea S={x+2y−z=1−kx+2y+kz=−k2x+4y−(k2+1)z=2S = \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ -kx +2y + kz = -k \\ 2x + 4y - (k^2 +1)z = 2 \end{cases}. 


El conjunto de todos los k∈Rk \in \mathbb{R} tales que las soluciones del sistema SS forman una recta es:

□\square R−{1}\mathbb{R} - \{ 1 \}

□\square {−1}\{ -1 \}

□\square {1}\{ 1 \}

□\square R−{−1}\mathbb{R} - \{ -1 \}

Ejercicio 2:

Si (1,−1,3)(1, -1, 3) y (2,1,0)(2, 1, 0) son soluciones del sistema no homogéneo Ax=bAx = b, una solución del mismo sistema que además cumple 2x1+x2+2x3=12x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 es:


□\square (12,−2,92)(\frac{1}{2}, -2, \frac{9}{2})

□\square (4,5,−6)(4,5,-6)

□\square (5,7,−9)(5,7,-9)

□\square (1,−1,0)(1,-1,0)

Ejercicio 3:

El punto del plano Π:3x1+2x2−x3=2\Pi: 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 2 más cercano a P=(−5,1,13)P = (-5, 1, 13) es:


□\square (1,5,11)(1,5,11)

□\square (3,1,9)(3,1,9)

□\square (−4,0,12)(-4,0,12)

□\square (6,4,−2)(6,4,-2)

Ejercicio 4:

Sean L1:X=λ(1,−1,2)+(0,1,3)L_1: X = \lambda (1,-1, 2) + (0, 1, 3), L2:X=λ(0,1,1)+(2,0,8)L_2: X = \lambda(0,1,1) + (2, 0, 8) y Π:x1+x2+x3=d\Pi: x_1 + x_2 + x_3 = d. El valor de d∈Rd \in \mathbb{R} tal que el punto en el que se cortan L1L_1 y L2L_2 pertenece a Π\Pi es:


□\square d=−3d = -3

□\square d=0d = 0

□\square d=8d = 8

□\square d=4d = 4

Ejercicio 5:

Sea A=(21k8)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ k & 8 \end{pmatrix}. El conjunto de todos los valores de k∈Rk \in \mathbb{R} para los cuales el sistema A3x=A2xA^3 x = A^2 x tiene infinitas soluciones es:


□\square {16}\{ 16 \}

□\square R−{16}\mathbb{R} - \{ 16 \}

□\square {0,16}\{ 0, 16 \}

□\square {7,16}\{ 7, 16 \}

Ejercicio 6:

Sea S=⟨(1,1,2,−1),(1,2,1,−1),(0,1,1,0)⟩S = \langle (1, 1, 2, -1), (1, 2, 1, -1), (0, 1, 1, 0) \rangle. Entonces S⊥S^{\perp} es igual a:


□\square ⟨(1,0,0,1)⟩\langle(1,0,0,1)\rangle

□\square {x∈R4∣x1+x4=0}\{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 + x_4 = 0 \}

□\square ⟨(−1,1,1,2)⟩\langle(-1,1,1,2)\rangle

□\square {(0,0,0,0)}\{ (0,0,0,0) \}

Ejercicio 7:

Sean los subespacios S=⟨(1,0,1,1),(0,0,1,2)⟩S = \langle(1,0,1,1),(0,0,1,2)\rangle, T={x∈R4∣x1+x2−x3=0;3x1−x4=0}T = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 + x_2 - x_3 = 0; 3x_1 - x_4 = 0 \} y W=⟨(1,0,3,2),(2,1,−1,1)⟩W = \langle(1,0,3,2),(2,1,-1,1)\rangle. La dimensión de (S∩T)+W(S \cap T) + W es


□\square 44

□\square 11

□\square 22

□\square 33

Ejercicio 8:

Sean S={x∈R4∣x1−x2+x3=0;x2+x4=0}S = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 - x_2 + x_3 = 0; x_2 + x_4 = 0 \} y T=⟨(1,1,k2−k−12,−1),(1,1,0,k2−6k+7)⟩T = \langle(1,1,k^2 - k - 12, -1),(1,1,0,k^2 - 6k +7)\rangle. El conjunto de todos los k∈Rk \in \mathbb{R} tales que dim(S+T)=3\text{dim}(S+T) = 3 es


□\square {2,−3}\{ 2,-3 \}

□\square R−{2,−3}\mathbb{R} - \{ 2, -3 \}

□\square R−{4}\mathbb{R} - \{ 4 \}

□\square {4}\{ 4 \}

Ejercicio 9:

Si A=(1−2−24)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}, una base del subespacio S={X∈R2×2∣AX=0}S = \{ X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} | AX = 0 \} es


□\square {(2211)}\{ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \}

□\square {(2100),(0021)}\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\}

□\square {(2010),(0201)}\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\}

□\square {(2100),(0021),(2211)}\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\}

Ejercicio 10:

Sean B={V1,V2,V3}B = \{ V_1, V_2, V_3 \} y B′={V1−V2,V2+2V3,w}B' = \{ V_1 - V_2, V_2 + 2V_3, \textbf{w} \} bases de R3\mathbb{R}^3. Si las coordenadas del vector v=V1+V2+V3v = V_1 + V_2 + V_3 en la base B′B' son (−2,−1,3)(-2,-1,3), el vector w\textbf{w} es


□\square w=2V1+V3\textbf{w} = 2V_1 + V_3

□\square w=−3V1−V2+V3\textbf{w} = -3V_1 - V_2 + V_3

□\square w=−2V1−V2+3V3\textbf{w} = -2V_1 - V_2 + 3V_3

□\square w=V1+V3\textbf{w} = V_1 + V_3

Ejercicio 11:

Sean S=⟨(1,1,0),(0,1,−1)⟩S = \langle(1,1,0),(0,1,-1)\rangle y T={x∈R3∣x1+ax2+x3=0}T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | x_1 + ax_2 + x_3 = 0 \} subespacios de R3\mathbb{R}^3 y f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 la transformación lineal definida por f(x)=(2x1+x3,x1,x1−x3)f(x) = (2x_1 + x_3, x_1, x_1 - x_3). Si f(S)⊆Tf(S) \subseteq T, el valor de aa es


□\square −1-1

□\square 33

□\square 11

□\square −3-3

Ejercicio 12:

Sean B={(0,1),(1,−1)}B = \{ (0,1),(1,-1) \} base de R2\mathbb{R}^2 y f:R2→R2f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 la transformación lineal definida por f(x,y)=(x+y,x−2y)f(x,y) = (x+y, x-2y). La matriz MBE(f)M_{BE}(f) es igual a


□\square (011−1)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

□\square (10−23)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

□\square (111−2)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

□\square (2−111)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Ejercicio 13:

Sean S={x∈R5∣x1+x2=0;x2+x3−x5=0}S = \{ x \in \mathbb{R}^5 | x_1 + x_2 = 0; x_2 + x_3 - x_5 = 0 \}. Si f:R5→R2f: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2 es un epimorfismo tal que Nu(f)+S=R5\text{Nu}(f) + S = \mathbb{R}^5, entonces la dimensión de S∩Nu(f)S \cap \text{Nu}(f) es


□\square 11

□\square 33

□\square 00

□\square 22

Ejercicio 14:

Sean S=⟨(1,1,0),(0,0,1)⟩S = \langle(1,1,0),(0,0,1)\rangle, T={x∈R3∣3x1+x2−x3=0}T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | 3x_1 + x_2 - x_3 = 0 \} y W=⟨(1,2,−1),(0,−1,1)⟩W = \langle(1,2,-1),(0,-1,1)\rangle. Si f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 es una transformación lineal tal que f(S)=Tf(S) = T y f(T)=Wf(T) = W, entonces f(S∩T)f (S \cap T) es igual a


□\square ⟨(1,1,4)⟩\langle(1,1,4)\rangle

□\square ⟨(1,0,3),(0,1,1)⟩\langle(1,0,3),(0,1,1)\rangle

□\square ⟨(1,−1,2)⟩\langle(1,-1,2)\rangle

□\square {(0,0,0)}\{ (0,0,0) \}

Ejercicio 15:

Sean B={(1,1,0),(0,1,1),(0,1,0)}B = \{ (1,1,0),(0,1,1),(0,1,0) \} base de R3\mathbb{R}^3 y f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 la transformación lineal tal que MEB(f)=(21−1120031)M_{EB}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}. El conjunto {x∈R3∣f(x)=(5,3,1)}\{ x \in \mathbb{R}^3 | f(x) = (5,3,1) \} es igual a


□\square {(3,0,1)}\{ (3,0,1) \}

□\square {(3,0,1)+α(−2,1,−3)∣α∈R}\{ (3,0,1) + \alpha (-2,1,-3) | \alpha \in \mathbb{R} \}

□\square {(1,0,−3)}\{ (1,0,-3) \}

□\square {(1,0,−3)+α(−2,1,−3)∣α∈R}\{ (1,0,-3) + \alpha (-2,1,-3) | \alpha \in \mathbb{R} \}

Ejercicio 16:

Sea P(x)=x4−ax3+ax−1P(x) = x^4 - ax^3 + ax - 1. El conjunto de todos los a∈Ra \in \mathbb{R} tales que 11 es raíz múltiple de PP es


□\square {2}\{ 2 \}

□\square R−{2}\mathbb{R} - \{ 2 \}

□\square ∅\emptyset

□\square R\mathbb{R}

Ejercicio 17:

El mínimo grado de un polinomio P∈R[x]P \in \mathbb{R}[x] que tiene a 22 y a 3+i3+i como raíces y que tiene una raíz doble y una triple es


□\square 55

□\square 77

□\square 66

□\square 88

Ejercicio 18:

Si z∈Cz \in \mathbb{C} cumple simultáneamente que z4=(1+i)10z^4 = (1+i)^{10} y Im(z)>0\text{Im}(z) > 0, todos los posibles valores de arg(z)\text{arg}(z) son


□\square π8\frac{\pi}{8} y 138π\frac{13}{8}\pi

□\square π8\frac{\pi}{8} y 58π\frac{5}{8}\pi

□\square 58π\frac{5}{8}\pi

□\square 516π\frac{5}{16}\pi

Ejercicio 19:

Sea A=(4a−a2a1−4−a−1−4)A = \begin{pmatrix} 4 & a & -a \\ 2 & a & 1 \\ -4 & -a-1 & -4 \end{pmatrix}. El valor de aa para el cual (1,1,−1)(1,1,-1) es un autovector de AA es


□\square −2-2

□\square 00

□\square −3-3

□\square −1-1

Ejercicio 20:

Sean VV un espacio vectorial y f:V→Vf: V \to V una transformación lineal. Si v∈Vv \in V es un autovector de ff asociado al autovalor 22, entonces (f∘f)(3v)(f \circ f) (3v) es igual a


□\square 12v12v

□\square 9v9v

□\square 6v6v

□\square 3v3v


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