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Ejercicio 1:

Sea $S = \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ -kx +2y + kz = -k \\ 2x + 4y - (k^2 +1)z = 2 \end{cases}$. 

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Ejercicio 2:

Si $(1, -1, 3)$ y $(2, 1, 0)$ son soluciones del sistema no homogéneo $Ax = b$, una solución del mismo sistema que además cumple $2x_1 + x_2 + 2x_3 = 1$ es:

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Ejercicio 3:

El punto del plano $\Pi: 3x_1 + 2x_2 - x_3 = 2$ más cercano a $P = (-5, 1, 13)$ es:

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Ejercicio 4:

Sean $L_1: X = \lambda (1,-1, 2) + (0, 1, 3)$, $L_2: X = \lambda(0,1,1) + (2, 0, 8)$ y $\Pi: x_1 + x_2 + x_3 = d$. El valor de $d \in \mathbb{R}$ tal que el punto en el que se cortan $L_1$ y $L_2$ pertenece a $\Pi$ es:

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Ejercicio 5:

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ k & 8 \end{pmatrix}$. El conjunto de todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales el sistema $A^3 x = A^2 x$ tiene infinitas soluciones es:

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Ejercicio 6:

Sea $S = \langle (1, 1, 2, -1), (1, 2, 1, -1), (0, 1, 1, 0) \rangle$. Entonces $S^{\perp}$ es igual a:

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Ejercicio 7:

Sean los subespacios $S = \langle(1,0,1,1),(0,0,1,2)\rangle$, $T = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 + x_2 - x_3 = 0; 3x_1 - x_4 = 0 \}$ y $W = \langle(1,0,3,2),(2,1,-1,1)\rangle$. La dimensión de $(S \cap T) + W$ es

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Ejercicio 8:

Sean $S = \{ x \in \mathbb{R}^4 | x_1 - x_2 + x_3 = 0; x_2 + x_4 = 0 \}$ y $T = \langle(1,1,k^2 - k - 12, -1),(1,1,0,k^2 - 6k +7)\rangle$. El conjunto de todos los $k \in \mathbb{R}$ tales que $\text{dim}(S+T) = 3$ es

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Ejercicio 9:

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$, una base del subespacio $S = \{ X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} | AX = 0 \}$ es

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Ejercicio 10:

Sean $B = \{ V_1, V_2, V_3 \}$ y $B' = \{ V_1 - V_2, V_2 + 2V_3, \textbf{w} \}$ bases de $\mathbb{R}^3$. Si las coordenadas del vector $v = V_1 + V_2 + V_3$ en la base $B'$ son $(-2,-1,3)$, el vector $\textbf{w}$ es

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Ejercicio 11:

Sean $S = \langle(1,1,0),(0,1,-1)\rangle$ y $T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | x_1 + ax_2 + x_3 = 0 \}$ subespacios de $\mathbb{R}^3$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la transformación lineal definida por $f(x) = (2x_1 + x_3, x_1, x_1 - x_3)$. Si $f(S) \subseteq T$, el valor de $a$ es

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Ejercicio 12:

Sean $B = \{ (0,1),(1,-1) \}$ base de $\mathbb{R}^2$ y $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la transformación lineal definida por $f(x,y) = (x+y, x-2y)$. La matriz $M_{BE}(f)$ es igual a

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Ejercicio 13:

Sean $S = \{ x \in \mathbb{R}^5 | x_1 + x_2 = 0; x_2 + x_3 - x_5 = 0 \}$. Si $f: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2$ es un epimorfismo tal que $\text{Nu}(f) + S = \mathbb{R}^5$, entonces la dimensión de $S \cap \text{Nu}(f)$ es

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Ejercicio 14:

Sean $S = \langle(1,1,0),(0,0,1)\rangle$, $T = \{ x \in \mathbb{R}^3 | 3x_1 + x_2 - x_3 = 0 \}$ y $W = \langle(1,2,-1),(0,-1,1)\rangle$. Si $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ es una transformación lineal tal que $f(S) = T$ y $f(T) = W$, entonces $f (S \cap T)$ es igual a

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Ejercicio 15:

Sean $B = \{ (1,1,0),(0,1,1),(0,1,0) \}$ base de $\mathbb{R}^3$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la transformación lineal tal que $M_{EB}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. El conjunto $\{ x \in \mathbb{R}^3 | f(x) = (5,3,1) \}$ es igual a

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Ejercicio 16:

Sea $P(x) = x^4 - ax^3 + ax - 1$. El conjunto de todos los $a \in \mathbb{R}$ tales que $1$ es raíz múltiple de $P$ es

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Ejercicio 17:

El mínimo grado de un polinomio $P \in \mathbb{R}[x]$ que tiene a $2$ y a $3+i$ como raíces y que tiene una raíz doble y una triple es

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Ejercicio 18:

Si $z \in \mathbb{C}$ cumple simultáneamente que $z^4 = (1+i)^{10}$ y $\text{Im}(z) > 0$, todos los posibles valores de $\text{arg}(z)$ son

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Ejercicio 19:

Sea $A = \begin{pmatrix} 4 & a & -a \\ 2 & a & 1 \\ -4 & -a-1 & -4 \end{pmatrix}$. El valor de $a$ para el cual $(1,1,-1)$ es un autovector de $A$ es

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Ejercicio 20:

Sean $V$ un espacio vectorial y $f: V \to V$ una transformación lineal. Si $v \in V$ es un autovector de $f$ asociado al autovalor $2$, entonces $(f \circ f) (3v)$ es igual a